Efeito Hall

“A descoberta do Quantized Hall Effect (QHE) foi o resultado de medições sistemáticas em transistores de efeito de campo de silício – o dispositivo mais importante da microeletrônica.”

Klaus von Klitzing

Em 1879, Edwin Herbert Hall descobriu aos 24 anos, durante seu trabalho de doutorado¹, um estranho comportamento em condutores elétricos, que ficou conhecido como Efeito Hall.

Essa descoberta ocorreu 18 anos antes da descoberta do Elétron em 1897, e, naquela época, ainda se considerava a corrente elétrica um fluido contínuo.

Contudo, somente a partir de 1968 as primeiras aplicações práticas surgiram com o lançamento do primeiro teclado em estado solido para computadores que utilizava sensores de Efeito Hall. Pela primeira vez, o sensor e o circuito eletrônico auxiliar se encontravam no mesmo circuito integrado.

Atualmente, os sensores de Efeito Hall integram diversos equipamentos, desde computadores, celulares, máquinas de costura, automóveis, aviões, ferramentas e equipamentos médicos. Adicionalmente, eles se tornaram a tecnologia mais utilizada para detectar campos magnéticos².

Porém, mais uma vez, a Física Quântica trouxe novos avanços teóricos. Em 1980, Klaus von Klitzing descobriu o comportamento quântico do Efeito Hall e ganhou o Prêmio Nobel de Física de 1985 por essa descoberta.

Efeito Hall

Ao estudar a força provocada pelo campo magnético em fios conduzindo corrente elétrica – Figura 1, Hall questionou se a força atuava no fio ou apenas nas cargas elétricas em movimento dentro do fio.

A dúvida procede porque como não existe força no fio sem corrente, a força deve depender de outra coisa.

Na sua concepção, se a força atuasse nas cargas, a resistência do fio deveria variar porque afetaria a trajetória e velocidade dos Elétrons. Contudo, ele não conseguiu medir nenhuma variação na resistência. 

Por isso, ele imaginou que deveria haver outro fenômeno eletromagnético anulando o efeito do campo magnético no fluxo de cargas, e o campo elétrico poderia ser esse fenômeno.

Hall montou uma experiência, conseguiu medir uma tensão – Ey, perpendicular à corrente e ao campo magnético, que surgia quando se aplicava um campo magnético no condutor³ – Figura 2.

Este fenômeno se tornou conhecido como Efeito Hall.

O campo elétrico E_x produz uma corrente J_x, mas o campo magnético provoca o deslocamento de cargas na direção y, que se acumulam na extremidade do condutor.

Por sua vez, este acúmulo de cargas produz um campo elétrico que repele o movimento de novos elétrons produzidos pelo campo magnético. 

Desta maneira, a tensão E_y produz uma força eletrostática que se opõe à força magnética, deixando o fluxo de corrente J_x inalterado e, consequentemente, a resistência na direção x.

A Equação 1 mostra as forças nos elétrons produzida pelo campo magnético e pelo campo elétrico resultante do acumulo de cargas nas extremidades do material no eixo y.

Onde:

• • e é a carga do Elétron;
  • v_x é a velocidade do Elétron no eixo x .

Essas forças devem se igualar em condições de equilíbrio e a velocidade V_x é a velocidade de deriva -V_d – definida no Capítulo Condutividade e Resistividade I a partir da teoria de Drude, apesar dessa teoria ter sido posterior à descoberta de Hall.

Igualando as duas expressões da Equação 1, obtém-se o campo E_y da seguinte maneira:

O define-se o Coeficiente de Hall – R_h – como a relação entre o campo E_y e o campo magnético – H – e a densidade de corrente, conforme mostra a Equação 3.

Contudo, de acordo com a Equação 4 de Condutividade e Resistividade I, a corrente J_x vale:

Portanto, de acordo com a Equação 5, o coeficiente de Hall depende apenas da densidade de cargas -n, da carga elétrica e da sua polaridade, e quanto maior a densidade de cargas menor o coeficiente de Hall. Por isso, o Efeito Hall se tornou um importante sistema para se medir a concentração de cargas.

Onde:

• • R_h é o coeficiente de Hall [m³/C ou Ω.cm/G];
  • n é a densidade de cargas elétricas [elementos/m³];
  • e é carga elétrica elementar [C].

Observa-se que no caso dos Elétrons, que possuem carga negativa, o valor do coeficiente de Hall se torna negativo. Porém, no caso de corrente com cargas positivas este coeficiente se torna positivo.

Este resultado se tornou extremamente importante porque permite determinar a polaridade da carga da corrente e a densidade de cargas no material.

Além disso, este fenômeno se torna mais fácil de ser observado em semicondutores do que em condutores porque o Coeficiente de Hall diminui com o aumento da densidade de cargas.

Considerando a Equação 2 de Condutividade e Resistividade I, pode-se escrever a densidade de cargas, de acordo com o modelo de Drude, como:

Onde:

• • n é a densidade de Elétrons Livres [elementos/cm³];
  • N é o número total de Elétrons Livres [elementos];
  • V é o volume total do material [cm³];
  • N_a é a constante de Avogadro [elementos/mol];
  • Z é número de Elétrons de Valência [elementos];
  • ρ_m é a densidade do material [g/cm³];
  • A é a massa atômica do material [g/mol].

Substituindo a Equação 6 na Equação 5, obtemos o coeficiente de Hall em função dos parâmetros do material.

A partir da Equação 7, observa-se que o coeficiente de Hall depende da massa atômica, do número de Elétrons de Valência e da densidade do material.

A Tabela 1 apresenta os valores medidos do coeficiente de Hall para diversas substâncias no sistema CGS. ⁴ 

Como a teoria de Drude atribui exclusivamente aos Elétrons a condução de corrente, o Coeficiente de Hall deveria ser sempre negativo.

Supreendentemente, para alguns metais o coeficiente de Hall apresentou valores positivos, o que contraria a teoria de Drude de que apenas Elétrons conduzem eletricidade nos metais.

Além disso, dois elementos químicos apresentaram valores extremamente elevados, o Telúrio com valor positivo e o Bismuto com valor negativo.

Isto significa que a teoria da condução de corrente elétrica necessita de refinamentos.

Tabela - Coeficiente Hall

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Exercício Proposto

Converta os valores do coeficiente de Hall da Tabela 1 para o sistema SI e compare com os valores obtidos a partir da Equação 7. ⁵

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A teoria dos Elétrons Livres funciona para diversas propriedades físicas dos materiais, tais como capacidade térmica, a condutividade térmica e a condutividade elétrica.

Contudo, ela falha na distinção entre metais, semimetais, semicondutores e isolantes. 

Além disso, segundo Ashcroft, a teoria dos Elétrons Livres falha na explicação dos seguintes fenômenos:

• • os Coeficientes de Hall positivos;
  • a variação dos coeficientes de Hall com a temperatura e intensidade do campo magnético;
  • a Magnetoresistência, que consiste na variação da resistência elétrica de um fio perpendicular ao campo magnético;
  • os sinais da tensão do Efeito Termoelétrico e do coeficiente de Hall;
  • A lei de Wiedemaan-Franz, que se baseia na teoria dos elétrons livres, falha para temperaturas entre as criogênicas e a ambiente;
  • A dependência da resistividade elétrica com a temperatura;
  • A dependência da resistividade elétrica coma direção (anisotropia);

Referências

 

1. ASHCROFT N. W., Mermin, N. D., Solid State Physics, Harcourt,1976.
2. FORSYTHE, W. E., Smithsonian Physical Tables, 9 ed., Knovel.
3. HALL, E.H., On a New Action of the Magnet on Electric Currents, American Journal of Mathematics, vol 2, 1879, pg. 287-292. ⁶
4. HONEYWELL SENSING AND CONTROL, Hall Effect Sensing and Application, https://sensing.honeywell.com/⁷
5. KITTEL, C., Introduction to Solid State Physics, 8 ed., Wiley, 2005.
6. RAMSDEN, E., Hall-Effect Sensors; Theory and Application, Elsevier, 2006. ⁷
7. SOLYMAR, L., WALSH, D., SYMS, R.R.A., Electrical Properties of Materials, 10 ed., Oxford, 2019.